電気工事を親会社から下請けをされたものと理解いたしました。
請負代金返還請求をすることになるでしょう。
訴状には以下のように記載することになります。

原告は、令和３年〇月〇日、被告との間で、以下の約定で請負契約を締結した。
　　工事名　　○○マンション電気工事（以下「本件工事」という）　
　　工事場所　△△市・・・・町〇〇番地
　　工期　　　令和３年１０月〇日から同年１１月６日まで
　　代金　　　〇〇万円
　　支払期日　令和３年１２月１５日
２　原告は、上記の工事場所および工期において、本件工事を施工して完成させた。
３　しかしながら、被告は、工事完了後も工事代金を支払わない。
４　よって、原告は、被告に対し、上記請負契約に基づく請負代金として金〇〇万円および令和３年１２月１５日の翌日から支払い済みまでの遅延損害金の支払いを求める。

証拠として、請求書、ラインのやりとりなどを提出することになると思われます。

少額訴訟をご検討とのことですので、最寄りの簡易裁判所に行けば、必要書類等のそろえ方を教えてくれます。

義理の息子に不動産や預金などの資産があり、それを把握されているならば、義理の息子に知られない形で、その資産を凍結することができます。仮差押えといいます。かかる手続きによって、回収可能性を高めておいてから、訴訟をすることができるとよいと思います。
仮差押をせずに、訴訟提起して判決だけを取得しても、資産がなかったり、隠されてしまうと回収できないことがあるからです。
時間は、仮差押は3週間程度。訴訟は、被告の対応にもよりますが、半年から1年程度が多いです。
その場合の弁護士報酬は以下のとおりです。
仮差押の着手金　（1500万円×0.05＋9万円）×1／２×1.1（消費税）＝46万2000円
訴訟の着手金　　（1500万円×0.05＋9万円）×1.1（消費税）＝92万4000円
1500万円全額回収した時の成功報酬金　（1500万円×0.1＋18万円）×1.1（消費税）＝184万8000円

仮に、義理の息子が資産を十分にもっているとか、優良企業に勤めていて給与が定期的に支払われているという場合で、離婚に伴う養育費のや財産分与などの毎月の支払を除いても、貴殿の貸金への支払能力が確保されるという場合であれば、仮差押の手続きを経ないで、訴訟を提起するという対応（場合によっては強制執行をする）という対応でも十分と判断できる場合もあるかもしれません。
かかる判断のためには、もう少し詳細な事情をお聞きする必要があります。
訴訟だけであれば、上記の弁護士報酬のうち、仮差押の着手金の負担は必要なくなります。

以上、よろしくお願いいたします。

お友達がお金を返すことを渋っているのであれば、裁判所を通じてお友達に働きかけることが一案として考えられます。
例えば、民事調停（話合い）、支払督促、少額訴訟の提起等が考えられます。
裁判所から書面が届いたり、呼び出しがあれば、お友達がこれに対応する可能性があると考えられるからです（裁判所からの書面や呼び出しを無視する方も少なからずいらっしゃいますので、確実な方法とまではいえません）。

証拠が必要になりますが、上手いこと話をして借用書を書いて貰うか、書いて貰うことが難しければ、お電話（ライン通話も含む）での会話を録音しておけば、その録音が証拠になる可能性がございます。
会話の中で、お友達がお金を借りたこと、まだお金を返していないことを認めるようなことを言わせるように、上手く話をしていくことが重要かと存じます。

相手が判決文を受け取らない場合でも、判決は確定し、強制執行をすることができます。

通常、判決書は、特別送達という手続により郵送されます。
送達がなされたというためには、相手が直接受領することが必要になります。

相手が受領を拒否している場合は、特別送達という手続ができないので、裁判所は、付郵便送達（書留郵便として発送する）という手続をとります。
この手続をとったときは、裁判所が発送したときに、送達がなされたことになります。

そして、送達がなされた日から２週間で判決が確定します。

電話やＳＮＳでの連絡に、相手方が応答しないのであれば、郵便で支払を督促することが考えられます。

配達を確認することができる特定記録、レターパック、書留等の郵便を送ることも考えられますが、相手方に事の重大性を認識させるために内容証明郵便を送付することも考えられます。

寄宿先の意味がよく分かりませんが、他人の家や勤務先の寮等、相手方以外の第三者が一旦郵便を受け取る可能性があるのであれば、間違って開封されて相手方のプライバシーや名誉を害する危険をできるだけ避けるために、「親展」をつけておいた方が良いかと存じます。

いずれにしましても、相手方に事の重大性を十分に認識させるために、弁護士名義の郵便を送ることも考えられます。
お近くの弁護士にご相談になることをおすすめいたします。

第１段落についてのみ、簡単に回答させていただきます。

証拠が揃っているのであれば、訴訟で勝訴判決を得る可能性はありますが、必要な証拠が本当に揃っているかどうかが分からないので、何ともいえないところです。

また、裁判で勝訴判決を得ても、相手が返済するかどうかは別問題になります。
勝訴判決を得ても、相手が一向に返済しないということも、少なからずあります。

一言で申し上げますと「厳しい」と考えられます・

ご記載の内容を見た限りですが、ご本人同士での話合いは難しそうだという印象を抱いております。
また、相手方に対して支払を求め続けても、相手方が話を変えながら支払を拒みつづける可能性が比較的高いと考えられます。

相手方の住所地を把握されていて、かつ、「約束」が手紙、メモ、メール、ＳＮＳやりとり等で文字になっているのであれば、支払督促等の裁判所を使った手続を採ることが一案として考えられます。
裁判所等の公的な機関からの郵便が届けば、相手方の態度が変わる可能性もあると考えられます。